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  • ID:3-8247509 [精]第57講 過程評價與案例賞析-2021年新高考數學一輪專題復習(新高考專版)

    高中數學/高考專區/一輪復習

    中小學教育資源及組卷應用平臺 第57講 過程評價與案例賞析 一 測量學校內、外建筑物的高度項目的過程性評價 [目的] 給出過程性評價,體現如何讓學生在交流過程中展現個性、學會交流、歸納總結,發現問題、積累經驗、提升素養. [評價過程] 在每一個學生都完成“測量報告”后,安排交流講評活動.安排講評的報告應當有所側重.例如,測量結果準確,測量過程清晰,測量方法有創意,誤差處理得當,報告書寫認真等;或誤差明顯而學生自己沒有察覺,測量過程中構建的模型有待商榷等.事實表明,這種形式的交流講評,往往是數學建模過程中學生收獲最大的環節. 附件:某個小組的研究報告的展示片段摘錄. 測量不可及“理想大廈”的方法 1.兩次測角法 (1)測量并記錄測量工具距離地面h m; (2)用大量角器,將一邊對準大廈的頂部,計算并記錄仰角α; (3)后退a m,重復(2)中的操作,計算并記錄仰角β; (4)樓高x的計算公式為: x=+h, 其中α,β,a,h如圖所示. 兩次測角法示意圖 2.鏡面反射法 (1)將鏡子(平面鏡)置于平地上,人后退至從鏡中能夠看到房頂的位置,測量人與鏡子的距離; (2)將鏡子后移a m,重復(1)中的操作; (3)樓高x的計算公式為x=,其中a1,a2是人與鏡子的距離,a是兩次觀測時鏡面之間的距離,h是人的“眼高”,如圖所示.根據光的反射原理,利用相似三角形的性質聯立方程組,可以得到這個公式. 鏡面反射法示意圖 實際測量數據和計算結果,測量誤差簡要分析. (1)兩次測角法 實際測量數據: 第一次 第二次 仰角 67° 52° 后退距離為25 m,人的“眼高”為1.5 m,計算可得理想大廈的高度約為71.5 m,結果與期望值(70 m~80 m)相差不大.誤差的原因是鉛筆在紙板上畫出度數時不夠精確.減小誤差的方法是幾個人分別測量高度及仰角,再求平均值,誤差就能更小. (2)鏡面反射法 實際測量數據: 第一次 第二次 人與鏡子的距離 3.84 m 3.91 m 鏡子的相對距離10 m,人的“眼高”為1.52 m.計算可得理想大廈的高度約為217 m,結果與期望值相差較大. 產生誤差有以下幾點原因: 鏡面放置不能保持水平; 兩次放鏡子的相對距離太短,容易造成誤差; 人眼看鏡內物像時,兩次不一定都看準鏡面上的同一個點; 人體不一定在兩次測量時保證高度不變. 綜上所述,要做到沒有誤差很難,但可以通過某些方法使誤差更小,我們準備用更多的測量方法找出理想的結果. 對上面的測量報告,教師和同學給出評價.例如,對測量方法,教師和同學評價均為“優”,因為對不可及的測量對象選取了兩種可行的測量方法;對測量結果,教師評價為“良”,同學評價為“中”,因為兩種方法得到的結果相差較大. 對測量結果的評價,教師和同學產生差異的原因是,教師對測量過程的部分項目實施加分,包括對自制測量仰角的工具等因素作了誤差分析;同學則進一步分析產生誤差的主要原因,包括: (1)測量工具問題.兩次測角法的同學,自制量角工具比較粗糙,角度的刻度誤差較大;鏡面反射法的同學,選用的鏡子尺寸太大,造成鏡間距測量有較大誤差. (2)間距差的問題.這是一個普遍的問題.間距差a值是測量者自己選定的,因為沒有較長的卷尺測量距離,有的同學甚至選間距差a是1 m.由于間距太小,兩次測量的角度差或者人與鏡的距離差太小,最終導致計算結果產生巨大誤差.當學生意識到了這個問題后,他們利用運動場100 m跑道的自然長度作為間距差a,使得測量精度得到較大提高. (3)不少學生用自己的身高代替“眼高”,反映了學生沒有很好地理解測量過程中的“眼高”應當是測量的高度,如照片所示. 在結題交流過程中,教師通過測量的現場照片,引導學生發現問題,讓學生分析測量誤差產生的原因.學生們在活動中意識到,書本知識和實踐能力的聯系與轉化是有效的學習方式. 測量現場的照片和觀察說明: 照片 說明 左圖:測量角的工具(量角器)太小,造成仰角的測量誤差很大. 右上圖:用腕尺法測量時,腕尺應與地面垂直,手臂水平,否則就沒有相似的直角三角形. 右下圖:用鏡子反射法時,要保持鏡面水平,否則入射三角形和反射三角形就不相似. 測量仰角的工具好:把一個量角器放在復印機上放大4倍復印.在中心處綁上一個鉛垂,這樣測量視線和鉛垂線之間的夾角可以在圖上直接讀出,這個角是待測仰角的余角. 測量工具好:用自行車來測距離,解決了皮尺長度不夠的問題. [分析] 建模活動的評價要關注結果,更要關注過程. 對測量方法和結果的數學評價可以占總評價的60%,主要由教師作評價.評價依據是現場觀察和學生上交的測量報告,關注的主要評價點有: (1)測量模型是否有效; (2)計算過程是否清晰準確,測量結果是否可以接受; (3)測量工具是否合理、有效; (4)有創意的測量方法(可獲加分); (5)能減少測量誤差的思考和做法(可獲加分); (6)有數據處理的意識和做法(可獲加分); …… 非數學的評價可以占總評價的40%,主要評價點有: (1)每一名成員在小組測量和計算過程中的工作狀態; (2)測量過程中解決困難的機智和辦法; (3)討論發言、成果匯報中的表現等. 非數學的評價主要是在同學之間進行,可以要求學生給出本小組以外其他匯報小組的成績,并寫出評價的簡單理由. 二 黃金數的應用 班  級:高三(  )班 指導老師: 組  長: 組  員: 研究背景:黃金數不僅僅是那簡簡單單的一串數字,它在美術、建筑甚至是人的飲食都可以起到作用.那些世界建筑大師設計的作品中常常會用到黃金數的知識.我們在數學、物理、化學、生物及美學中都存在很多的最好、最優化的問題,如何實現最優化從而達到我們的要求,使得我們在各方面都能取得很好的成績. 研究目的和意義: 1.培養學生對數學的學習興趣; 2.提高學習的查找、分析、集中能力; 3.拓寬學生的知識面,感受古代數學家高超的證題思想和刻苦鉆研的精神; 4.通過集體配合較好完成對本課題的研究,增加同學間團結合作的精神. 研究分工:搜集整理資料;撰寫研究方案;寫開題報告;撰寫結題報告. 研究步驟:查閱資料、實際調查、計算、總結. 預期成果:在這次研究性學習中,我們組成員互相合作,共同完成了這一課題研究.從中我們了解到黃金數不僅僅是那簡簡單單的一串數字,它在美術、建筑甚至是人的飲食都可以起到作用.那些世界建筑大師設計的作品中常常會用到黃金數的知識. 研究結果: 一、黃金數的發展“歷史” 黃金數是公元前六世紀古希臘數學家畢達哥拉斯所發現的.一天,畢達哥拉斯從一家鐵匠鋪路過,被鋪子中那有節奏的叮叮當當的打鐵聲所吸引,便停下來仔細聆聽,似乎這聲音中隱匿著什么秘密.他走進作坊,拿出一把尺量了一下鐵錘和鐵砧的尺寸,發現它們之間存在著一種十分和諧的關系.回到家里,畢達哥拉斯拿出一根線,想將它分為兩段.怎樣分才最好呢?經過反復比較,他最后確定1∶0.618的比例截斷最優美. 0.618在數學中叫黃金比值,又稱黃金數.這是意大利著名畫家達·芬奇給它的美稱.其實數學上有許多幾何圖形蘊涵了黃金比,如五角星等. 代數上也有許多黃金數的知識,其中最有名的裴波那契數列,也就是1,1,3,5,8,13,21,34,55,89…,或許大家要問這里面沒有黃金數啊,其實如果用前一項比后一項,它的比值將會在0.618上下波動,如果你有興趣還可以算下去,最后你還會得到一個數,一個無限接近于黃金數的比值,不信你可以試一試. 二、黃金數的廣泛應用 1.藝術中的黃金數 “0.618”,這個比值因具有美學價值而被古希臘美學家運用到造型藝術中,因為凡符合黃金分割律的形體總是最美的形體.在美術史上曾經把它作為經典法則來應用.有許多美術家運用它創造了不少不朽的名著.例如達·芬奇的《蒙娜麗莎》、拉斐爾筆下溫和俊秀的圣母像,都有意無意地用上了這個比值. 黃金分割對攝影畫面構圖可以說有著自然聯系.例如照相機的片窗比例:135相機就是24×36即2∶3的比例,這是很典型的.只要我們翻開影集看一看,就會發現,大多數的畫幅形式,都是近似這個比例. 2.飲食、生活作息中的黃金數 “黃金分割”的比值為0.618,它不僅是美學造型方面常用的一個比值,也是一個飲食參數.日本人的平均壽命多年來穩居世界首位,合理的膳食是一個主要因素.在他們的膳食中,谷物、素菜、優質蛋白、堿性食物所占的比例基本上達到了黃金分割的比值. 醫學專家分析后還發現,飯吃六七成飽的人幾乎不生胃病. 還有喝5杯水.人體內的水分占體重的61.8%,不計出汗,每天失去和需要補充的水達2 500毫升.其中半固體食物供給的水和人體內部合成的水約1 500毫升,大約占61.8%.其余1 000毫升需要補充,才能保持水平衡.因此,每人一天要喝5杯水. 一天合理的生活作息也應該符合黃金分割,24小時中,2/3時間是工作與生活,1/3時間是休息與睡眠;在動與靜的關系上,究竟是“生命在于運動”,還是“生命在于靜養”?從辯證觀和大量的生活實踐證明,動與靜的關系同一天休息與工作的比例一樣,動四分,靜六分,才是最佳的保健之道.掌握與運用好黃金分割,可使人體節約能耗,延緩衰老,提高生命質量. 3.植物中的黃金數 植物葉子,千姿百態,生機盎然,給大自然帶來了美麗的綠色世界. 盡管葉子形狀隨種而異,但它在莖上的排列順序(稱為葉序),卻是極有規律的.你從植物莖的頂端向下看,經細心觀察,發現上下層中相鄰的兩片葉子之間約為137.5°.如果每層葉子只畫一片來代表,第一層和第二層的相鄰兩葉之間的角度差約是137.5°,以后二到三層,三到四層,四到五層……兩葉之間都成這個角度數.植物學家經過計算表明:這個角度對葉子的采光、通風都是最佳的.葉子的排布,多么精巧葉子間的137.5°中,藏有什么“密碼”呢?我們知道,一周是360°,360°-137.5°=222.5°,137.5°∶222.5°≈0.618.瞧,這就是“密碼”!葉子的精巧而神奇的排布中,竟然隱藏著0.618. 有些植物的花瓣及主干上枝條的生長,也是符合這個規律的. 4.建筑中的黃金數 世界上最有名的建筑物中幾乎都包含“黃金分割比”.遍布全球的眾多優秀近現代建筑,盡管其風格各異,但在構圖布局設計方面,都有意無意地運用了黃金分割的法則,給人以整體上的和諧與悅目之美. 舉世聞名的巴特農神廟也是這樣一個例子,神廟外部呈長方形,長228英尺,寬101英尺,有46根多立克式環列圓柱構成柱廊. 文明古國埃及的金字塔,形似方錐,大小各異.但這些金字塔底面的邊長與高之比都接近于0.618,能使平直單調的塔身變得豐富多彩;在現代建筑中,一些摩天建筑中使用“黃金分割點”進行處理,在這類高層建筑物的黃金分割處布置腰線或裝飾物,則可使整個樓群顯得雄偉雅致.如舉世聞名的法國巴黎埃菲爾鐵塔、當今世界最高建筑之一的加拿大多倫多電視塔(553.33米),都是根據黃金分割的原則來建造的.上海的東方明珠廣播電視塔,塔身高達468米.為了美化塔身,設計師巧妙地在上面裝置了晶瑩耀眼的上球體、下球體和太空艙,既可供游人登高俯瞰地面景色,又使筆直的塔身有了曲線變化.更妙的是,上球體所選的位置在塔身總高度5∶8的地方,即從上球體到塔頂的距離,同上球體到地面的距離大約是5∶8這一符合黃金分割之比的安排,使塔體挺拔秀美,具有審美效果. 三、開展生活中實際調查的研究及成果 經過我們的討論,我們覺得應該自己去尋找生活中的黃金數. 1.下面就是我們實地測量結果的統計表格,從中我們發現其實黃金數就在我們的身邊.只要稍微留心一下便可發現它離我們的生活有多近!在生活中,只要我們善于觀察,善于思考,將所學的知識與生活結合起來將會感到數學的樂趣,生活中處處都應用著數學的知識. 物品 寬(cm) 長(cm) 比值 教室墻體磚塊 18 29 0.621 一片葉子 0.9 104 0.6428 學生 92 150 0.613 安中學生證 6.1 10 0.61 安中校園雕像 51 83 0.614 安中課桌 40 65 0.615 2.在實地調查、相關問題的訪問、同學們之間互相交流討論后,我們從中獲得了不少的生活小知識. 如(1)報幕員應站在舞臺的什么地方報幕最佳? 答:根據黃金分割,應站在舞臺寬度的0.618處以站在舞臺長度的黃金分割點的位置最美觀,聲音傳播得最好. (2)假如您打算買臺25寸的國產彩色電視機,要想物美價廉,最佳價位是多少? 答:如上所述,要想確定最佳價格,我們得知道同一品牌的最高價與最低價,然后根據公式:(最高價位-最低價位)×0.618+最低價位=最佳價位. 以下是我們的調查結果 名牌 高檔的價格(元) 低檔的價格(元) 最佳的價格(元) 長虹彩電 1 350 1 280 1320 創維彩電 1 295 1100 1 221 (3)請問在夏季,人們為什么格外留戀春天的感覺? 答:人在春季感到舒暢,那是因為這時的環境溫度正好在22至24攝氏度之間,而這種氣溫與人的正常體溫37攝氏度正呈現微妙之處:人的正常體溫37攝氏度與0.618的乘積為22.8攝氏度,人在這一環境溫度中,機體的新陳代謝、生理活動均處于最佳狀態. 四、問題與建設 在這次研究性學習中,我們組成員互相合作,共同完成了這一課題研究.從中我們了解到黃金數不僅僅是那簡簡單單的一串數字,它在美術、建筑甚至是人的飲食都可以起到作用.那些世界建筑大師設計的作品中常常會用到黃金數的知識. 在研究中,當然也會遇到各種無法預料的問題.剛開始,大家對于黃金數的知識都很缺乏,只是帶著一份好奇去探詢其中的奧秘,而且黃金數的資料學校圖書館比較缺乏,網上資料又是十分雜亂,對于信息需要篩選,留下對課題研究有用的部分.在學習大量資料以后,我們漸漸了解了黃金數,我們驚奇地發現小小的“黃金數”竟然有這么多神奇的應用!既然知道了,我們就更應該在生活中使用黃金數,美化生活. _21?????????è?????(www.broadwayshowsnyc.net)_

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  • ID:3-8247507 [精]第56講 數學建模與數學探究-2021年新高考數學一輪專題復習(新高考專版)

    高中數學/高考專區/一輪復習

    中小學教育資源及組卷應用平臺 第56講數學建模與數學探究 考情分析 數學建模活動是對現實問題進行數學抽象,用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的過程.主要包括:在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題,分析問題、構建模型,確定參數、計算求解,檢驗結果、改進模型,最終解決實際問題.數學建模活動是基于數學思維運用模型解決實際問題的一類綜合實踐活動,是高中階段數學課程的重要內容. 知識梳理 數學建模活動的基本過程如下: 數學探究活動是圍繞某個具體的數學問題,開展自主探究、合作研究并最終解決問題的過程.具體表現為:發現和提出有意義的數學問題,猜測合理的數學結論,提出解決問題的思路和方案,通過自主探索、合作研究論證數學結論.數學探究活動是運用數學知識解決數學問題的一類綜合實踐活動,也是高中階段數學課程的重要內容. 【過程解讀】 掌握建模基本過程,會對實際問題進行問題分析,善于合理假設. ·問題分析也常稱為模型準備或問題重述.由于數學模型是建立數學與實際現象之間的橋梁,因此,首要的工作是要設法用數學的語言表述實際現象.所謂問題重述是指把實際現象盡量地使用貼近數學的語言進行重新描述.為此,要充分了解問題的實際背景,明確建模的目的,盡可能弄清對象的特征,并為此搜集必需的各種信息或數據.要善于捕捉對象特征中隱含的數學因素,并將其一一列出.至此,我們便有了一個很好的開端,而有了這個良好的開端,不僅可以決定建模方向,初步確定用哪一類模型,而且對下面的各個步驟都將產生影響. ·模型假設(即合理假設)是與問題分析緊密銜接的又一個重要步驟.根據對象的特征和建模目的,在問題分析基礎上對問題進行必要的、合理的取舍簡化,并使用精確的語言作出假設,這是建模至關重要的一步.這是因為,一個實際問題往往是復雜多變的,如不經過合理的簡化假設,將很難于轉化成數學模型,即便轉化成功,也可能是一個復雜的難于求解的模型從而使建模歸于失敗.當然,假設作得不合理或過分簡單也同樣會因為與實際相去甚遠而使建模歸于失敗.一般地,作出假設時要充分利用與問題相關的有關學科知識,充分發揮想象力和觀察判斷力,分清問題的主次,抓住主要因素,舍棄次要因素. 【實際意義】 數學建模的實際意義 1.在一般工程技術領域,數學建模仍然大有用武之地. 在以聲、光、熱、力、電這些物理學科為基礎的諸如機械、電機、土木、水利等工程技術領域中,數學建模的普遍性和重要性不言而喻,雖然這里的基本模型是已有的,但是由于新技術、新工藝的不斷涌現,提出了許多需要用數學方法解決的新問題;高速、大型計算機的飛速發展,使得過去即便有了數學模型也無法求解的課題(如大型水壩的應力計算,中長期天氣預報等)迎刃而解;建立在數學模型和計算機模擬基礎上的CAD技術,以其快速、經濟、方便等優勢,大量地替代了傳統工程設計中的現場實驗、物理模擬等手段. 2.在高新技術領域,數學建模幾乎是必不可少的工具. 無論是發展通訊、航天、微電子、自動化等高新技術本身,還是將高新技術用于傳統工業去創造新工藝、開發新產品,計算機技術支持下的建模和模擬都是經常使用的有效手段.數學建模、數值計算和計算機圖形等相結合形成的計算機軟件,已經被固化于產品中,在許多高新技術領域起著核心作用,被認為是高新技術的特征之一. 3.數學迅速進入一些新領域,為數學建模開拓了許多新的處女地. 隨著數學向諸如經濟、人口、生態、地質等所謂非物理領域的滲透,一些交叉學科如計量經濟學、人口控制論、數學生態學、數學地質學等應運而生.在這些領域里建立不同類型、不同方法、不同深淺程度模型的余地相當大,為數學建模提供了廣闊的新天地.馬克思說過,一門科學只有成功運用數學時,才算達到了完善的地步.展望21世紀,數學必將大踏步地進入所有學科,數學建模將迎來蓬勃發展的新時期. 【課題研究】 課題研究的過程包括選題、開題、做題、結題四個環節.學生需要撰寫開題報告,教師要組織開展開題交流活動,開題報告應包括選題意義、文獻綜述、解決問題思路、研究計劃、預期結果等.做題是解決問題的過程,包括描述問題、數學表達、建立模型、求解模型、得到結論、反思完善等.結果包括撰寫研究報告和報告研究結果,開展結題答辯.根據選題的內容,報告可以采用專題作業、測量報告、算法程序、制作的實物、研究報告或小論文等多種形式. 經典例題 測量學校內、外建筑物的高度 [目的] 運用所學知識解決實際測量高度的問題,體驗數學建模活動的完整過程.組織學生通過分組、合作等形式,完成選題、開題、做題、結題四個環節. [情境] 給出下面的測量任務; (1)測量本校的一座教學樓的高度; (2)測量本校的旗桿的高度; (3)測量學校院墻外的一座不可及,但在學校操場上可以看到見的物體的高度. 可以每2~3個學生組成一個測量小組,以小組為單位完成;各人填寫測量課題報告表,一周后上交. 測量課題報告表 項目名稱:______________ 完成時間:______________ 1.成員與分工 姓名 分工 2.測量對象 例如,某小組選擇的測量對象是:旗桿、教學樓、校外的××大廈. 3.測量方法(請說明測量的原理、測量工具、創新點等) 4.測量數據、計算過程和結果(可以另外附圖或附頁) 5.研究結果(包括誤差分析) 6.簡述工作感受 [要求] (1)成立項目小組,確定工作目標,準備測量工具. (2)小組成員查閱有關資料,進行討論交流,尋求測量效率高的方法,設計測量方案(最好設計兩套測量方案). (3)分工合作,明確責任.例如,測量、記錄數據、計算求解、撰寫報告的分工等. (4)撰寫報告,討論交流.可以用照片、模型、PPT等形式展現獲得的成果. 根據上述要求,每個小組要完成以下工作. (1)選題 本案例活動的選題步驟略去. (2)開題 可以在課堂上組織開題交流,讓每一個項目小組陳述初步測量方案,教師和其他同學可以提出質疑.在討論的基礎上,項目小組最終形成各自的測量方案. (3)做題 依據小組的測量方案實施測量.盡量安排各個小組在同一時間進行測量,這樣有利于教師的現場觀察和管理.要有分工、合作、責任落實到個人. (4)結題 在每一位學生都完成“測量報告”后,安排一次交流講評活動.遴選的交流報告最好有鮮明的特點,如測量結果準確,過程完整清晰,方法有創意,誤差處理得當,報告書寫規范等;或者測量的結果出現明顯誤差,使用的方法不當. [分析] 測量高度是傳統的數學應用問題,這樣的問題有助于培養學生分析解決問題、動手實踐、誤差分析等方面的能力.測量模型可以用平面幾何的方法,例如,比例線段、相似形等;也可以用三角的方法,甚至可以用物理的方法,例如,考慮自由落體的時間;等等. [拓展] 歡迎提出新的問題,積累數學建模資源.例如: 1.本市的電視塔的高度是多少米? 2.一座高度為H m的電視塔,信號傳播半徑是多少?信號覆蓋面積有多大? 3.找一張本市的地圖,看一看本市的地域面積有多少平方千米?電視塔的位置在地圖上的什么地方?按照計算得到的數據,這座電視塔發出的電視信號是否能覆蓋本市? 4.本市(外地)到省會的距離有多少千米?要用一座電視塔把信號從省會直接發送到本市,這座電視臺的高度至少要多少米? 5.如果采用多個中繼站的方式,用100 m高的塔接力傳輸電視信號,從省會到本地至少要建多少座100 m高的中繼傳送塔? 6.考慮地球大氣層和電離層對電磁波的反射作用,重新考慮問題2,4,5. 7.如果一座電視塔(例如300 m高)不能覆蓋本市,請設計一個多塔覆蓋方案. 8.至少發射幾顆地球定點的通訊衛星,可以使其信號覆蓋地球? 9.如果我國要發射一顆氣象監測衛星,監測我國的氣象情況,請你設計一個合理的衛星定點位置或衛星軌道. 10.在網上收集資料,了解有關“北斗衛星導航系統”的內容,在班里做一個相關內容的綜述,并發表對這件事的看法. _21?????????è?????(www.broadwayshowsnyc.net)_

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  • ID:3-8247505 [精]第55講 隨機變量的數字特征-2021年新高考數學一輪專題復習(新高考專版)

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  • ID:3-8247503 [精]第54講 條件概率與事件的獨立性、正態分布-2021年新高考數學一輪專題復習(新高考專版)

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  • ID:3-8247502 [精]第53講 離散型隨機變量及其分布列-2021年新高考數學一輪專題復習(新高考專版)

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  • ID:3-8247501 [精]第52講 古典概型-2021年新高考數學一輪專題復習(新高考專版)

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  • ID:3-8247500 [精]第51講 事件與概率-2021年新高考數學一輪專題復習(新高考專版)

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  • ID:3-8247406 [精]第48講 兩個基本計數原理-2021年新高考數學一輪專題復習(新高考專版)

    高中數學/高考專區/一輪復習

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  • ID:3-8247404 [精]第47講 變量的相關性與統計案例-2021年新高考數學一輪專題復習(新高考專版)

    高中數學/高考專區/一輪復習

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  • ID:3-8247403 [精]第45講 獲取數據的基本途徑及抽樣方法-2021年新高考數學一輪專題復習(新高考專版)

    高中數學/高考專區/一輪復習

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  • ID:3-8247401 [精]第44講 圓錐曲線的綜合應用-2021年新高考數學一輪專題復習(新高考專版)

    高中數學/高考專區/一輪復習

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  • ID:11-8193020 山東省德州市2020-2021學年度第一學期高一生物期中試題(PDF版)含答案

    高中生物/期中專區/高一上學期

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  • ID:4-8193011 山東省德州市2020-2021學年度第一學期高一英語期中試題(PDF版)(無聽力音頻有文字材料)

    高中英語/期中專區/高一上學期

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  • ID:9-8184373 山東省德州市2020-2021學年度上學期期中高一政治試題(PDF版含答案)

    高中思想政治/期中專區/高一上學期

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  • ID:3-8184364 山東省德州市2020-2021學年度上學期期中高一數學試題(PDF版含答案)

    高中數學/期中專區/高一上冊

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  • ID:10-8179968 山東省德州市2020-2021學年度第一學期高一地理期中試題(PDF版含答案)

    高中地理/期中專區/高一上學期

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  • ID:7-8179751 山東省德州市2020-2021學年度第一學期高一化學期中試題(PDF版)含答案

    高中化學/期中專區/高一上學期

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